\documentclass{article}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[russian]{babel}
\usepackage{amsmath, amssymb}
\pagestyle{empty}

\begin{document}
	
\begin{center}
{\bf Летние сборы 2001.
Группа Б.
Математический бой.}
\end{center}

{\bf 1.} 
Дано $n$-элементное множество $A$ точек плоскости такое, что $XY < 2$ для всех $X$ и $Y \in A$.
Проведены все возможные окружности единичного радиуса, проходящие через несколько (хотя бы две) точек множества $A$.
Докажите, что каждая точка $X \in A$ принадлежит не менее чем
$\frac{1 + \sqrt{8n-7}}{2}$ проведенным окружностям.

{\bf 2.} 
$A_1$, $B_1$ и $C_1$ --- середины дуг $BC$, $AC$ и $AB$ описанной окружности треугольника $ABC$ соответственно.
Докажите, что радиус вписанной окружности треугольника $ABC$ не превосходит радиуса вписанной окружности треугольника $A_1B_1C_1$.

{\bf 3.} 
Дан параллелограмм $ABCD$.
Окружность, лежащая внутри него, касается сторон $AB$ и $AD$ и пересекает диагональ $BD$ в точках $E$ и $F$.
Докажите, что существует окружность, касающаяся сторон $CB$ и $CD$, проходящая через точки $E$ и $F$.

{\bf 4.} 
Докажите неравенство 
\[\frac{1}{\sqrt{1+a^2}} + \frac{1}{\sqrt{1+b^2}} + \frac{1}{\sqrt{1+c^2}} 
  \leqslant \frac{3}{2}\]
для любых положительных чисел $a$, $b$ и $c$, удовлетворяющих соотношению $a+b+c = abc$.

{\bf 5.} 
Решите уравнение $2^x + 3^y = z^2$ в неотрицательных целых числах.

{\bf 6.} 
Граф называется полуплоским, если при любом разбиении множества его вершин  на две части хотя бы один из полученных графов является плоским. 
Докажите, что вершины полуплоского графа можно так покрасить в~$10$ цветов, чтобы никакие две вершины одного цвета не были соединены ребром.

{\bf 7.} 
Существует ли такое вещественное $\alpha$, что 
$\{ \alpha^n \} \in \left( \frac{1}{3}, \frac{2}{3} \right)$
для любого натурального $n$?

{\bf 8.} 
Дан многочлен третьей степени $p(x)$, имеющий три различных рациональных корня.
Всегда ли найдется такое вещественное число $a \neq 0$, что многочлен $p(x) - a$ также имеет три различных рациональных корня?

{\bf 9.} 
Даны вещественные числа $a_1$, $a_2$, \dots, $a_n$, не все равные нулю.
Докажите, что уравнение 
$\sqrt{1+a_1x} + \sqrt{1+a_2x} + \dots + \sqrt{1+a_nx} = n$
имеет не более одного ненулевого вещественного корня.

{\bf 10.}. 
Дано подмножество $X \subset \{1, 2, \dots, n^3\}$, состоящее из $3n^2$ элементов~($n \geqslant 3$).
Докажите, что из множества $X$ можно выбрать $9$ таких элементов $\{a_1, a_2, \dots, a_9 \}$, что система уравнений
\begin{equation*}
{\left\{
\begin{split}
a_1 x + a_2 y + a_3 z &= 0, \\
a_4 x + a_5 y + a_6 z &= 0, \\
a_7 x + a_8 y + a_9 z &= 0, 
\end{split}
\right.}
\end{equation*}
имеет ненулевое целое решение.
\end{document}